[IQ題] - 囚犯活命問題 (答案)

怎麼樣才可以存在最大的存活率,涉及到博弈論.而且要想到對方所想.

關於答案有下面的說法:

由題設條件可知：
摸到最大綠豆數的囚犯必死，摸到最小綠豆數的囚犯必死，摸到重復綠豆數的囚犯必死。

整體來看，至少有兩個囚犯必死。

綠豆數為5時，2個囚犯必死(11111)。

綠豆數為4時，3-4個囚犯必死(1211，2111)。

綠豆數為3時，4-5個囚犯必死(131，311，221，212)。

綠豆數為2、1時，5個囚犯必死。

5個囚犯的策略應該是：5個囚犯必須使摸到的綠豆數不重復，這樣才會有最多存活機會；又必須使自己摸到的綠豆數居中，才會有最大存活機會。

明確了這一點，就可以往下分析了。

具體分析求機率

設1號囚犯摸到的綠豆數為N。
則2號囚犯摸到的綠豆數為N+1或N-1。
因為2號囚犯可以通過摸剩余綠豆的方法得知1號囚犯摸到的綠豆數,2號囚犯摸到的綠豆數為N的話就會重復是找死，如果摸到的綠豆數與N相差大於1的話，又會使得3號囚犯有機會使摸到的綠豆數居中。

3號囚犯也會使自己摸到的綠豆數與1、2號的緊密相鄰，即使自己摸到的綠豆數比1、2號的之中最大的大1，最小的小1。

因為3號囚犯可以通過摸剩余綠豆的方法得知1、2號囚犯摸到的綠豆總數，又知1、2號囚犯摸到的綠豆數相差為1，從而判斷出1、2號囚犯各自摸到的綠豆數。

4、5號囚犯與3號囚犯想法基本相同。即使自己摸到的綠豆數比自己前面所有的之中最大的大1，最小的小1。

綜上所述，5個囚犯摸到的綠豆數為5個連續整數。

1號囚犯存活機率。1號囚犯有兩種情況必死：摸到的綠豆數最大或最小。摸到的綠豆數最大或最小，只能由後4位囚犯決定，由分析可知後4位囚犯的摸到綠豆數的位置都只有兩個，即一組連續整數的兩邊。

因此1號囚犯摸到的綠豆數為最大時的機率為（1/2）*（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/16，最小時的機率也為1/16，1號囚犯存活機率為1-（1/16）*2=7/8

2號囚犯存活機率。由對稱性可知2號囚犯存活機率與1號相同，也為7/8。

3號囚犯存活機率。3號囚犯摸到的綠豆數為最大時的機率為（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小時的機率也為1/8，1號囚犯存活機率為1-（1/8）*2=3/4。

4號囚犯存活機率。4號囚犯摸到的綠豆數為最大時的機率為（1/2）*（1/2）=1/4，最小時的機率也為1/4，4號囚犯存活機率為1-（1/4）*2=1/2。

5號囚犯存活機率。5號囚犯摸到的綠豆數不是最大就是最小，必死無疑。5號囚犯存活機率為0。

[本題到此告一段落。但是5個囚犯的策略似乎有點問題：5號囚犯在必死無疑的情況下，還會為前4人保駕護航嗎？他會不會臨死拉個墊背的？於是有了以下分析。]




5號囚犯的“覺醒”（臨死拉個墊背的，在必死無疑的情況下多殺人）
1-4號囚犯策略如前，則4個囚犯摸到的綠豆數為4個連續整數，而5號囚犯的“覺醒”促使他多殺人。

要多殺人，他摸到的綠豆數必須為4個連續整數的中間兩個，這樣有4人必死，只有1人存活。

5號囚犯必死，4號囚犯摸到的綠豆數為4個連續整數的最大或最小值，也必死，1-3號囚犯有可能存活。

先不考慮5號囚犯。

1號囚犯存活機率。
1號囚犯摸到的綠豆數為4個連續整數的最大或最小值，則必死。
1號囚犯摸到的綠豆數為最大時的機率為（1/2）*（1/2）*（1/2）=1/8，最小時的機率也為1/8，1號囚犯存活機率為1-（1/8）*2=3/4

2號囚犯存活機率。
由對稱性可知2號囚犯存活機率與1號相同，也為3/4。

3號囚犯存活機率。
3號囚犯摸到的綠豆數為最大時的機率為（1/2）*（1/2）=1/4，最小時的機率也為1/4，3號囚犯存活機率為1-（1/4）*2=1/2。

考慮5號囚犯。
由於5號囚犯摸到的綠豆數必為4個連續整數的中間兩個，故1-3號囚犯存活機率都將減半。即1、2號囚犯存活機率為（3/4）*（1/2）=3/8，3號囚犯存活機率（1/2）*（1/2）=1/4。

[5號囚犯的“覺醒”等於宣判了4號囚犯的死刑，4號囚犯考慮到這一點後，隨之“覺醒”。]

4、5號囚犯共同“覺醒”
此情況很簡單，大家同赴九泉。^_^.


綜合考慮後，1、2號囚犯存活機率最大